ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Tüm saatler GMT +3 Saat


Full versiyon Görüntüle

YAZAR: huso
Tarih: 6/3/2009, 12:53



ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER


1. GİRİŞ ve GENEL BİLGİLER;

1.1 TANIMLAR:

 Bilinmeyen, tek değişkenli fonksiyon u(x) nun türevlerini içeren denkleme ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEM veya kısaca DİFERANSİYEL DENKLEM (ADD) adı verilir.

 Bilinmeyen fonksiyonlar u1, u2, u3, . için verilmiş bir denklem sisteminde en az bir ADD bulunması halinde sistem bir DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ (DDS) olarak adlandırılır.

• MERTEBE:

Bir ADD de bilinmeyen fonksiyonun en yüksek mertebeli türevi m ise ADD nin mertebesi m dir denilir.

Bir DDS de en yüksek mertebeli denklemin mertebesi DDS nin mertebesi olarak tanımlanır.

• LİNEERLİK:

Bilinmeyen fonksiyon u(x) nun veya türevlerinin bulunduğu bütün terimleri lineer olan bir ADD bir LİNEER ADD dir.

Diğer sözlerle bir LİNEER ADD nin hiçbir teriminde bilinmeyen fonksiyon u veya türevleri birbirleri ile çarpım halinde bulunamaz.

Bir DDS nin bütün denklemleri lineer ise sistem bir LİNEER DDS dir.


• GAYRİ-LİNEERLİK, NON-LİNEERLİK:

Lineer olmayan bütün ADD ler, ve DDS ler GAYRİ-LİNEER dir.

1.2 ÖRNEKLER:

Adi diferansiyel Denklemlerle ilgili kitaplarda genelde bilinmeyen fonksiyon y(x) ile gösterilir ve tabii sonra çok değişkenli fonksiyonlar gündeme gelince bu, karışıklıklara neden olur. Bu kitapta, bazı açıkça belirtilmiş istisnalar dışında, x-, y-, z- yer/konum ve t- zaman belirtmek üzere daima serbest değişkenleri gösterecektir. Bilinmeyen fonksiyonlar u(x) [veya u(x,y,z,t)], v(x) [veya v(x,y,z,t)], w(x) [veya w(x,y,z,t)], … ile gösterilecek, gerekirse bu fonksiyonlar, yukarıda yapıldığı gibi, alt indisler yardımıyla u1, u2, u3, . biçiminde adlandırılacaklardır. Verilen diferansiyel denklem probleminde önceden bilinen fonksiyonlar varsa bunlar f(x) [veya f(x,y,z,t)], g(x) [veya g(x,y,z,t)], h(x) [veya h(x,y,z,t)],… ile gösterilecek ve gerektiğinde f1, f2, … yine önceden bilinen fonksiyonları gösterecektir.

Aşağıdaki örneklerde u(x) ve v(x) bilinmeyen fonksiyonları göstermektedir. Sabit sayılar a, b, c, … ile belirtilmiştir.



 du/dx = k  1.nci mertebeden lineer tek denklem.

 d2u/dx2 = Sinx  2.nci mertebeden lineer tek denklem.

 x3d3u/dx3 + x2d2u/dx2 + xdu/dx + u = xex = 0  3.ncü mertebeden lineer tek denklem.

 u3d3u/dx3 + x2d2u/dx2 = x2Sinx = 0  3.ncü mertebeden gayri-lineer tek denklem.

 d/dx[uSin(ux)] - eu Cosx = 0  1.nci mertebeden gayri-lineer tek denklem.

 du/dx = av

dv/dx = bu + cv  1.nci mertebeden lineer iki denklemli sistem.

 du/dx = auv

dv/dx = bv2  1.nci mertebeden gayri-lineer iki denklemli sistem.


1.3 DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ORTAYA ÇIKIŞI:

Diferansiyel Denklem Problemleri, doğal olarak Türev Kavramı ile birlikte yani 17.nci yüzyılın sonlarında ortaya çıkmıştır. Çok kaba bir özet yaparsak 18.nci yüzyıl için Adi Diferansiyel Denklemler Devri, 19.ncu yüzyıl için Kısmi Diferansiyel Denklemler Devri, 20.nci yüzyıl için ise Sayısal Çözüm Yöntemleri Devri diyebiliriz.

Genelde fizik ve mühendislik problemlerini anlamak ve çözmek amacı ile başvurulan Diferansiyel Denklemler zamanla diğer bilimsel çalışma alanlarına örneğin Biyolojik ve Ekonomik problemlere de –sınırlı da olsa- uygulanır hale gelmiştir.

Aşağıda bazı örneklerle Diferansiyel Denklemlerin nasıl ortaya çıktığı kısaca açıklanmaya çalışılmıştır.

A) Serbest Düşme Hareketi:

Diferansiyel Denklemlerin ilk defa kullanıldığı fiziksel olaylardan biridir. Bilindiği gibi t0 anında u0 ilk hızı ile “düşey doğrultuda” fırlatılan bir küçük cismin, hava ile arasındaki sürtünme sıfır kabul edilirse ve g yer çekimi ivmesini gösteriyorsa herhangi bir t- anındaki hızı:

du/dt = -g  u = u0 – g(t-t0), t > t0

biçiminde ifade edilebilir. Görüldüğü gibi soldaki ifade 1.nci mertebeden lineer ve çok basit bir adi diferansiyel denklemdir. Sağdaki ifade ise bu denklemin çözümü ya da entegrali adını alır. Dikkat edilirse çözüm ifadesinde entegrasyon işleminden gelen keyfi sabitin yerini t = t0 da verilmiş olan ilk hız u0 almıştır. Herhangi bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak en az bir entegrasyon işlemi gerektireceğine ve her entegrasyon işlemi bir keyfi sabit üreteceğine göre çözümün tek olabilmesi için bu keyfi sabitlerin belirlenmesini sağlayacak bazı ek şartlara ihtiyaç duyacağımız açıktır. Yukarıdaki problemde bu ek şart t = t0 da u = u0 olmalı biçiminde verilmiştir. O halde elimizdeki serbest düşme problemini:

du/dt = -g , t = t0 da u = u0 , t > t0

biçiminde yazmamız gerekmektedir. Böylece denklemimiz ve birlikte verdiğimiz şart(lar) artık hem bir matematik problemi hem de belli bir fiziksel olayın –yapılan kabullerle sınırlanmış- Matematik Modelini oluşturmaktadır. Bu biçimde bir başlangıç zamanında verilen ek şartlara İLKŞART adını veriyoruz. İleride bu konuyu daha ayrıntılı bir biçimde ele alacağız.

Serbest düşme hareketinde yol ile hız arasındaki ilişkiyi de bir diferansiyel denklemle ifade edebileceğimizi biliyoruz. Gerçekten de problemimizdeki küçük katı cisim bir düşey doğrultu üzerinde hareket ettiğine göre bir noktadaki hızını o noktadaki yer koordinatının (yani yüksekliğinin) zamanla değişimi olarak düşünebiliriz. Cismin herhangi bir t anındaki yüksekliğini s(t) ile gösterir ve t = t0 da s = s0 kabul edersek yeni bir diferansiyel denklem elde ederiz.

ds/dt = u(t) , t = t0 da s = s0 , t > t0



-> Ders notları/Föyler/Lab.lar(makine müh) -> PDA Görünüm - Ana Sayfa
Tüm saatler GMT +3 Saat


Full versiyon Görüntüle



Phpbb PDA Görünüm
Muhendisiz.net Tarafindan Yazilmistir.
Writed by muhendisiz.net © 2004 - 2007 All rights reserved.